Lectures on Classical Differential Geometry

曲线论

$\bold x=\bold x(u)$ $u=s$ $\bold t$ $\bold n$ $\bold b$ ：

\begin{matrix} (1) & \begin{matrix} t = \frac{\partial x}{\partial s} \\ n ∥ \frac{\partial t}{\partial s} \\ b = t \times n \end{matrix} \end{matrix}

$\bold n$ $\dot{\bold b}\parallel \bold n$ $\kappa$ $\tau$ ：

\begin{matrix} (2) & \begin{matrix} \dot{t} = κ n \\ \dot{b} = - τ n \end{matrix} \end{matrix}

$\bold n$ $\kappa$ $\tau$ 唯一确定（两个负号抵消）。挠率表征曲线旋进的情况。Circular helix是曲率挠率固定的曲线，右手螺旋有正挠率，挠率越大螺距越宽。由上易得Frenet公式：

\begin{matrix} (3) & \frac{d}{d s} (\begin{array}{ccc} t \\ n \\ b \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & κ & 0 \\ - κ & 0 & τ \\ 0 & - τ & 0 \end{array}) (\begin{array}{ccc} t \\ n \\ b \end{array}) \end{matrix}

曲率挠率是曲线内禀的性质。知道曲线的曲率、挠率可以在不考虑方向和坐标原点的情况下确定一条曲线。

渐开线involution和渐屈线evolution：渐开线：处处于原曲线的切线相交且垂直的曲线；渐屈线：渐开线的原曲线称为该渐开线的渐屈线。

$\bold x=\bold x(s),~\dd s=|\dd \bold x|$ $\bold y=\bold x+\lambda\bold t$ ${\dd \bold y\over \dd s}=\bold t+\lambda'\bold t+\lambda \kappa \bold n\perp\bold t$ $\lambda'=-1$ $\bold y=\bold x+(s_0-s)\bold t$ $\bold x=\bold x(s),~\dd s=|\dd \bold x|$ $\bold y=\bold x+a_1\bold n+a_2\bold b$ 。

$\bold n$ 可以取固定的方向（朝圈内或朝圈外）。有关于平面圈的定理：

（four-vertices theorem）非圆形的圈上的曲率极值点（vertex）至少有四个。 $\oint \bold n\dd {1\over \kappa}$ $=-\oint {1\over \kappa}\dd\bold n$ $=-\oint {1\over \kappa}(-\kappa \bold t)\dd s$ $=\oint \bold t\dd s$ $=0$ $\oint \bold n\dd {1\over \kappa}\ne 0$ $\bold n$ $\int \bold n\dd {1\over \kappa}$ 即可知不相等。
等宽圈（curve of constant width）的周长固定。等宽圈的构造：欧拉提出的方法。

其他细枝末节 $\bold t,\bold n,\bold b$ 坐标系中的正投影；螺旋线（helix）。

曲面论

$\bold x=\bold x(u,v)$ $u,v$ ${\part \bold x\over \part (u,v)}$ $\part _u\bold x\times \part_v\bold x\ne 0$ 。）

$\dd \bold x_1=\bold x_u\dd u_1+\bold x_v\dd v_1,$ $\dd x_2=$ $\bold x_u\dd u_2$ $+\bold x_v\dd v_2$ 。其内积

\begin{matrix} (4) & \begin{matrix} d x_{1} \cdot d x_{2} = E d u_{1} d u_{2} + F (d u_{1} d v_{2} + d v_{1} d u_{2}) + G d v_{1} d v_{2} \\ w h e r e E = x_{u} \cdot x_{u}, F = x_{u} \cdot x_{v}, G = x_{v} \cdot x_{v} \end{matrix} \end{matrix}

对于线元：

\begin{matrix} (5) & d s^{2} = E d u^{2} + 2 F d u d v + G d v^{2} = d x \cdot d x = I \end{matrix}

这称为第一基本形式。

第二基本形式：曲面上某曲线在曲面上某点处的曲率矢量为

\begin{matrix} (6) & κ = \frac{d^{2} x (s)}{d s^{2}} \end{matrix}

曲率矢量沿曲面法向量的投影即为法向曲率

\begin{matrix} (7) & κ_{n} = κ \cdot N = x_{s s} \cdot N \end{matrix}

$\bold t\cdot\bold N=\bold x_s\cdot\bold N=0$ $\kappa_n=-\bold x_s\cdot\bold N_s=-{\dd \bold x\cdot\dd \bold N\over \dd \bold x\cdot \dd \bold x}$ 。记

\begin{matrix} (8) & \begin{matrix} II = - d x \cdot d N = e d u^{2} + 2 f d u d v + g d v^{2} \\ w h e r e e = - x_{u} \cdot N_{u}, f = - x_{u} \cdot N_{v} = - x_{v} \cdot N_{u}, g = - x_{v} \cdot N_{v} \end{matrix} \end{matrix}

$\kappa_n=\bold{II}/\bold I$ 。

$\kappa_1,\kappa_2$ $\kappa=\kappa_1\cos^2\theta+\kappa_2\sin^2\theta$ 。

有用公式
$\begin{matrix} (9) & \begin{matrix} x_{u} \times x_{v} = \sqrt{E G - F^{2}} N \\ K = κ_{1} κ_{2} = \frac{e g - f^{2}}{E G - F^{2}} \end{matrix} \end{matrix}$

可展曲面分为圆柱面、圆锥面、切线可展面（tangential developable）。切线可展面是一条母线（generator）的切线族构成的曲面：

\begin{matrix} (10) & y (s, v) = x (s) + v t (s) \end{matrix}

可展曲面总可以看作是一组单参平面族的包络面。
$\Lrarr eg-f^2=0$ ，即处处无高斯曲率。

曲面内禀几何

$\bold x_u,\bold x_v,\bold N$ $\bold x_{uu},\bold x_{vv},\bold x_{uv}$ 有：

\begin{matrix} (11) & \begin{matrix} x_{u u} = Γ_{11}^{1} x_{u} + Γ_{11}^{2} x_{v} + e N \\ x_{u v} = Γ_{12}^{1} x_{u} + Γ_{12}^{2} x_{v} + f N \\ x_{v v} = Γ_{22}^{1} x_{u} + Γ_{22}^{2} x_{v} + g N \end{matrix} \end{matrix}

$\Gamma^i_{jk}$ $\Gamma^i_{21}=\Gamma^i_{12}$ $\bold x_u,\bold x_v$ 即可得高斯方程：

\begin{matrix} (12) & \begin{array}{l} Γ_{11}^{1} := \frac{G E_{u} - 2 F F_{u} + F E_{v}}{2 (E G - F^{2})}, \\ Γ_{11}^{2} := \frac{2 E F_{u} - E E_{v} - F E_{u}}{2 (E G - F^{2})}, \\ Γ_{12}^{1} = Γ_{21}^{1} := \frac{G E_{v} - F G_{u}}{2 (E G - F^{2})}, \\ Γ_{12}^{2} = Γ_{21}^{2} := \frac{E G_{u} - F E_{v}}{2 (E G - F^{2})}, \\ Γ_{22}^{1} := \frac{2 G F_{v} - G G_{u} - F G_{v}}{2 (E G - F^{2})}, \\ Γ_{22}^{2} := \frac{E G_{v} - 2 F F_{v} + F G_{u}}{2 (E G - F^{2})} . \end{array} \end{matrix}

$\bold N_u,\bold N_v$ ，有：

\begin{matrix} (13) & \begin{matrix} N_{u} = \frac{f F - e G}{E G - F^{2}} x_{u} + \frac{e F - f E}{E G - F^{2}} x_{v} \\ N_{v} = \frac{g F - f G}{E G - F^{2}} x_{u} + \frac{f F - g E}{E G - F^{2}} x_{v} \end{matrix} \end{matrix}

$K={eg-f^2\over EG-F^2}$ $E,F,G$ $u,v$ 的导数的量。

有用公式
$\begin{matrix} (14) & \begin{matrix} g_{i j} = (\begin{array}{cc} e & f \\ f & g \end{array}), g^{i j} = (\begin{array}{cc} \frac{g}{e g - f^{2}} & - \frac{f}{e g - f^{2}} \\ - \frac{f}{e g - f^{2}} & \frac{e}{e g - f^{2}} \end{array}) \end{matrix} \end{matrix}$

曲面上的几何

$\bold u$ $\bold x_u,\bold x_v,\bold N$ $\bold t,\bold u,\bold N$ 右旋。

\begin{aligned} (15) & κ_{g} = & [Γ_{11}^{1} u_{s}^{3} + (2 Γ_{12}^{2} - Γ_{11}^{1}) u_{s}^{2} v_{s} + (Γ_{22}^{2} - 2 Γ_{12}^{1}) u_{s} v_{s}^{2} - Γ_{22}^{1} v_{s}^{3}] \sqrt{Δ} \\ (16) & + (u_{s} v_{s s} - u_{s s} v_{s}) \sqrt{Δ} \\ (17) & w h e r e Δ = E G - F^{2} \end{aligned}

测地曲率是弯曲不变量。测地曲率等于该曲线在该点切平面上的投影曲线在该点的曲率。

$u$ $v$ $\kappa_{g1},\kappa_{g2}$ 。则有

\begin{matrix} (18) & κ_{g} = \frac{d θ}{d s} + κ_{g 1} \cos θ + κ_{g 2} \sin θ \end{matrix}